Definición de Matríz

La forma de definir matrices dentro de Mathematica^® es muy simple:

{{a,b },{c,d}}Genera un arreglo matricial.

Podemos en cualquier momento definir un elemento de una matriz.

<Matriz> [[<Renglón> ,<Columna> ]] Define el elemento posicionado en renglón, columna de la matriz indicada.

De la misma forma podemos definir un renglón de la matriz.

<Matriz>> [[<Renglón> ]] Define el renglón de la matriz indicada.

En matemáticas se acostumbra a colocar los elementos entre corchetes grandes. Mathematica^® simula este despliegue con la siguiente instrucción:

MatrixForm[<Matriz> ]

Observemos el siguiente ejemplo:

Matríz Identidad

La matriz identidad es el elemento neutro en la multiplicación de matrices, es decir, que una matriz multiplicada por ésta nos dará la misma matriz;comúnmente, suele simbolizarse a esta matriz con la letra "I".

El comando para obtener dicha matriz se presenta a continuación:

IdentityMatrix[<Dimensión> ]

donde "dimensión" es la dimensión de la matriz tanto de renglones como columnas. Veamos enseguida un ejemplo:

Matríz Diagonal

Una matriz diagonal es aquella que tiene la forma interna de una diagonal, es decir, los valores diferentes de 0 se encuentran en la diagonal principal de la matriz.

Su forma de obtención es mediante el siguiente comando:

DiagonalMatrix[<Valores> ]

donde los valores son los componentes de la diagonal principal. Veamos un ejemplo de lo expuesto:

Matríz Transpuesta

La matriz transpuesta se obtiene al intercambiar los elementos por medio de su posción dentro de la matriz. Así, el elemento cuya posición es [2,1] será [1,2], la [3,2] será la [2,3], etc.

Para obtener la matriz transpuesta de una matriz utilizando Mathematica^® se recurre al siguiente comando:

Transpose[<Matriz> ]

Observemos este ejemplo:

Y si anidamos los comandos:

In[5]:= MatrixForm[Transpose[A]] Out[5]= //MatrixForm =

es decir que en la entrada 5 se construye un comando compuesto basado en el comando "MatrixForm" cuyo argumento es el comando "Transpose" y este a su vez, tiene como argumento la matriz A.

Matríz Inversa

Se dice que una matriz inversa es aquella que al multiplicarse por la matriz original nos da como resultado la matriz identidad. Por lo tanto, si la matriz A es invertible entonces la matriz A multiplicada por su inversa es igual a I.

NOTA: Una matriz es invertible siempre y cuando sea cuadrada, es decir, que sus dimensiones sean iguales.

Para obtener dicha matriz se emplea el siguiente comando:

Inverse[<Matriz> ]

Analicemos este ejemplo:

Podemos observar la claridad del uso de este comando en la entrada 3. La demostración de la definición de la matriz inversa se las dejo como ejercicio práctico pues es necesaria la multiplicación de matrices que se estudiará en la siguiente sección.

Operaciones entre Matrices

Las operaciones que se pueden realizar entre matrices son las mismas que se utilizan en la aritmética elemental.

Cabe indicar que la multiplicación entre matrices cumple con las siguientes características:

• Sus elementos no se pueden conmutar.
• El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de renglones de la segunda matriz.

Observemos este ejemplo:

Se puede apreciar que el argumento del comando MatrixForm es la operación, hecho que nos es de mucha utilidad.

Potencia de una Matríz

Una operación muy común es elevar una matriz a la"n" potencia. Existe una fórmula para resolver dicho cálculo pero en Mathematica^® utilizaremos el comando siguiente:

MatrixPower[<Matriz>,<Potencia>]

Enfoquémonos en el siguiente ejemplo:

Es notorio la inmensa utilidad que nos da el hecho de pasar como argumento la asignación de una matriz al comando MatrixForm como se puede apreciar en la entrada 1.

Obtencion de Determinantes

La determinante de una matriz es un valor asociado a la matriz misma y se define de manera inductiva. Este valor nos sirve para varias aplicaciones en álgebra lineal, entre ellas, el conocimiento del número de soluciones que una matriz (sistema de ecuaciones) pueda tener.

La forma de obtener la determinante es por medio de la siguiente instrucción:

Det[<Matriz> ]

Veamos este ejemplo:

Eigenvalores y Eigenvectores

Los eigenvalores de una matriz son aquellos valores que al evaluarse en cualquiera de sus renglones nos da como resultado un elemento de la matriz aumentada igual a 0.

La obtención de los mencionados valores se logra gracias a este comando:

Eigenvalues[<Matriz> ]

De la misma forma, los eigenvectores se resuelven con la siguiente instrucción:

Eigenvectors[<Matriz> ]

Veamos este ejemplo:

Trigonometría

Conversion de Unidades de Medicion Angular

Un ángulo es la abertura que forman dos rectas al intersecarse.

Es posible que deseemos convertir un ángulo medido en grados a radianes. Esto se logra en Mathematica^® con la instrucción siguiente:

<Grados> Degree

En realidad lo que se está realizando matemáticamente es obtener la razón de proporción entre la constante Pi y la mitad del valor angular de un círculo. Veamos:

                       Pi
        Un grado = ------------  Radianes
                    180 grados
   

Observemos este caso de conversión:

Como vemos, es necesario teclear el filtro de exactitud "N" para obtener el valor en cuestión.

Inversamente podemos convertir radianes a grados de la siguiente forma:

<Radianes> (1/Degree)

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas son relaciones que involucran a los catetos y a la hipotenusa de un triángulo. Existen seis funciones cada una con su respectiva escritura en Mathematica^®:

De igual forma, las funciones trigonométricas inversas se definen fácilmente.

Recuérdese que los argumentos se escriben entre corchetes seguidos de los comandos, en este caso, las funciones. Veamos este ejemplo de como Mathematica^® reconoce expresiones trigonométricas:

Una confusión podría surgir en la entrada 1. Se podría pensar que es el argumento el que se eleva al cuadrado, sin embargo, es la función la que se eleva a la potencia mencionada. Si se desea lo primero la escritura sería así:

In[1]:= Sin[x^2]

Funciones Hiperbolicas

Las funciones hiperbólicas son las siguientes:

Comandos Trigonométricos

Así como las funciones relacionan elementos (catetos e hipotenusa), las identidades relacionan funciones manteniendo cierta interacción con los componentes de un triángulo. Es decir, es posible escribir una función en términos de cualquier otra función.

El comando que se emplea es el siguiente:

TrigReduce[<Expresión> ]

Una lista de comandos útiles al tema se presenta a continuación:

Expand[<Expr>,Trig->True] Escribe las potencias de los argumentos como coeficientes de los mismos.

Factor[<Expr>,Trig->True] Factoriza las expresiones trigonométricas.

TrigToComplex[<Expr> ] Escribe una expresión trigonométrica en términos complejos utilizando las identidades de Euler.

ComplexExpand[<Expr> ] Escribe expresiones complejas en términos trigonométricos.

TrigFactor[<Expr> ] Descompone la expresión en factores.